层次分析法

请注意，文章中部分理解可能已被笔者废弃，本文最后更新于：2 个月前

请注意，本文最后更新于2022.2.1，其中一些理解可能已被笔者推翻或废弃。

层次分析法(AHP)

层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)
这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。这种方法是在对复杂决策问题的本质上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的决策问题提供简便的决策方法。是对难以定量的复杂系统进行决策的模型。

层次分析法的根本是打分法：确定指标，不同方案指标打分，为指标确定权重。用于处理数据未知的评价。

层次分析法将问题分解为组成因素，并按照因素间关联、影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

基本步骤

建立层次模型

思考以下问题：

  1. 我的的评价目标是什么？
  2. 达到目标有哪些方案？
  3. ★对方案的评价准则或指标是什么？（最好参考引用文献）

将决策的目标、决策准则(考虑的因素)和决策对象绘制为层次结构图。

  1. 最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；
  2. 中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；
  3. 最低层(方案层)：决策时的备选方案；

或仅绘制评价体系(树状图或表格)如下 (要包含多级指标)：

评价模型

构造判断矩阵

(成对比较矩阵)

在确定权重时，只给出定性的结果(就是我认为景色占80%，费用10%等等)，常常不被别人接受，因此采用一致矩阵法，即：

  • 不把所有因素放在一起比较，而是两两比较
  • 对此时采用相对尺度，尽可能减少诸因素导致的相互比较的困难，提高准确性

成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素(准侧或目标)的相对重要性的比较。成对比较矩阵的元素 aija_{ij} 表示的是第 ii 个因素相对于第 jj 个因素的比较结果，这个值使用的是Santy的1-9标度方法给出。

定义且满足

aij=i相对j的重要度=i的重要程度j的重要程度=aikakja_{ij}=i相对j的重要度=\frac{i的重要程度}{j的重要程度}=a_{ik}a_{kj}

一致性检验

[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right]为一致矩阵的充要条件{aij>0a11=a22=⋯=ann=1[ai1,...,ain]=ki[a11,...,a1n]\left\{\begin{array}{l} a_{i j}>0 \\ a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{n n}=1 \\ {\left[a_{i 1},..., a_{i n}\right]=k_{i}\left[a_{11},..., a_{1 n}\right]} \end{array}\right.

对于

一致阵：则我们自然会取对应于最大特征根 nn 的归一化特征向量 {w1,w2,⋯ ,wn}\{w_1,w_2,\cdots,w_n\} ，且 ∑i=1nwi=1\sum_{i=1}^{n}{w_i=1} ， wiw_i 表示下层第 ii 个因素对上层某个因素影响程度的权值。

非一致阵：用其最大特征根对应的归一化特征向量作为权向量 W={w1,w2,⋯ ,wn}W=\{w_1,w_2,\cdots,w_n\} ，则 AW=λWAW=\lambda W ，这样确定权向量的方法称为特征根法；

定理：

  1. nn 阶一致阵的唯一非零特征根为 nn
  2. nn 阶互反阵 A(aij>0,aij=1aji,aii=1)A\left(a_{i j}>0, a_{i j}=\frac{1}{a_{j i}}, a_{i i}=1\right) 最大特征根 λ≥n\lambda \geq n ，当且仅当 λ=n\lambda=n 时， AA 为一致矩阵。

λ\lambda 连续的依赖于 aija_{ij} ，则 λ\lambda 比 nn 大的越多， AA 的不一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。

第一步：计算一致性指标CI

CI=λ−nn−1CI=\frac{\lambda -n}{n-1}

  1. CI=0CI=0 ,有完全的一致性；
  2. CICI 接近 00 ，有满意的一致性
  3. CICI 越大，不一致越严重；

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59

RIRI 为统计结果，详细计算方法参考这里

第三步：计算一致性比例CR

CR=CIRICR=\frac{CI}{RI}

如果 CR<0.1CR < 0.1, 则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。

求得权重

  1. 算术平均法求权重

ωi=1n∑j=1naij∑k=1nakj\omega_{i}=\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{a_{i j}}{\sum_{k=1}^{n} a_{k j}}

  1. 几何平均法求权重

ωi=(∏j=1naij)1n∑k=1n(∏j=1nakj)1n\omega_{i}=\frac{\left(\prod_{j=1}^{n} a_{i j}\right)^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}\left(\prod_{j=1}^{n} a_{k j}\right)^{\frac{1}{n}}}

  1. 特征值法求权

特别的：若特征值为n，对应特征向量为k[1a11,1a12,⋯ ,1a1n]Tk\left[\frac{1}{a_{11}}, \frac{1}{a_{12}}, \cdots, \frac{1}{a_{1 n}}\right]^{T}，且特征向量刚好为矩阵第一列。

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。

(1) 求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
(2) 对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重( ∑i=1nwi=1\sum_{i=1}^{n}{w_i=1} )

填表得结果

表格

然后相应的加权计算得分即可得到结果。

一点补充

详细做法补充

  1. 对于评价指标：
    1. 单层评价指标：构造所有指标的两两判断矩阵，得到权值
    2. 多层评价指标：
      1. 构造一级指标的两两判断矩阵，得到权值
      2. 构造每个一级指标下的二级指标的两两判断矩阵（每个一级指标一个矩阵），得到权值
      3. 构造每个二级指标下……
        ……
  2. 对于方案：
    1. 对于每个最低级指标构造所有方案的两两判断矩阵，得到权值

示例：

{一级指标1{二级指标1:a11,a12,a13二级指标2:a21,a22,a23一级指标2{二级指标3:a31,a32,a33二级指标4:a41,a42,a43二级指标5:a51,a52,a53一级指标3:a61,a62,a63\left\{\begin{array}{l} 一级指标1\left\{\begin{array}{l} 二级指标1 :a_{11},a_{12},a_{13}\\ 二级指标2 :a_{21},a_{22},a_{23}\\ \end{array}\right.\\ \\ 一级指标2\left\{\begin{array}{l} 二级指标3 :a_{31},a_{32},a_{33}\\ 二级指标4 :a_{41},a_{42},a_{43}\\ 二级指标5 :a_{51},a_{52},a_{53}\\ \end{array}\right.\\ \\ 一级指标3 : a_{61},a_{62},a_{63} \end{array}\right.\\

特征向量含义思考

对于矩阵 A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right] ， W=[w1w2⋮wn]W=\left[\begin{array}{c} w_{1}\\ w_{2}\\ \vdots\\ w_{n} \end{array}\right] ，满足 AW=λAAW=\lambda A 。

矩阵的本质是变换，把 AA 看作对 mm 纬空间单位球体进行 AA 变换,取 λ\lambda 最大时的特征向量 WW ,即表示为变换后的球体上与变换前方向相同的点中距离原点 OO 最远的点（距离原点距离为 λ\lambda ）所表示的方向向量 。记 WW 为可以代表整个变换 AA 的线性变换。

特别的对于对称矩阵 AA ，变换 AA 一定是将球变为椭球，这也是不同特征值对应特征向量一定正交的原因，相同特征值 λ\lambda 若有多个特征向量 e1,e2,...e_1,e_2,...，特征向量的张成空间都是该特征值 λ\lambda 的特征向量。λ\lambda 的特征向量。
但是，对于非特殊矩阵，几何意义不明确，另外对于正互反矩阵、一致性矩阵的变换性质，笔者并不清楚，所以也仅仅能近似的类比理解到这里了。
(22.1.18)

一些问题

  1. 评价的决策层不能太多，太多的话n会很大,判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。
  2. 平均随机一致性指标RI的表格中n最多是15。

所以当n过大可以分层归纳为多级指标再构造多个判断矩阵。

参考

  1. bilibili:数学建模学习交流 ↩
  2. https://zhuanlan.zhihu.com/p/38207837 ↩